Matemática como fim em si mesma

"A matemática é uma língua em que se discutem aquelas partes do mundo real que podem ser descritas por números ou por relações semelhantes de ordem. Juntamente, porém, com o dever rotineiro de traduzir os fatos para esta língua, existe, para aqueles que têm aptidões neste campo, um prazer na própria atividade em si. Acham a linguagem mais rica do que seu conteúdo estéril; aquilo que é traduzido significa menos para eles do que a lógica e o estilo do dizer, e destes sons harmoniosos desenvolve-se a matemática como literatura por direito próprio. A Matemática, neste sentido, – a Matemática pura – é uma forma de poesia que possui com a prosa da Matemática prática a mesma relação que a poesia literária tem com a prosa em qualquer outra linguagem. Este elemento de poesia, o encanto em explorar o meio por amor ao meio, constitui um comportamento essencial do processo criador." – J. Bronowski.

O IMORTAL, texto de Alejandro Jodorowsky

Viajou por todo o mundo, leu, estudou, rezou, alterou suas configurações mentais, experimentou fórmulas alquímicas, até que enfim obteve o que tanto queria: a imortalidade física. "O tempo me concederá sua sabedoria, as gerações futuras vão me admirar, serei dono do planeta!". Foram passando os séculos. A humanidade continuou sua evolução: os corpos se estiraram, as mandíbulas se estreitaram, os crânios aumentaram de tamanho, os ossos perderam peso e as omoplatas se converteram em asas. O imortal vagava preso ao solo, causando asco à humanidade volante.

Os últimos anos de Felix Hausdorff

A não ser que você viva como um eremita ou resida em alguma pequena comunidade agrícola auto-sustentável (casos em que você não estaria lendo este texto), toda tecnologia que o cerca, do celular à internet, provém direta ou indiretamente de pesquisas e trabalhos intelectuais que levaram décadas para se concretizar. E quase todas essas pesquisas têm suas raízes na matemática ou ao menos utilizam a matemática como ferramenta indispensável.

Na matemática, similarmente a qualquer outra área de pesquisa ou ramo de serviço, existem pessoas fantásticas que trabalham arduamente dia após dia para desenvolver teoremas e apresentar resultados abstratos que um dia virão a encontrar aplicabilidades práticas diversas, mas ainda insuspeitas. Também existem alguns poucos indivíduos, desses que aparecem apenas uma vez ou outra a cada geração, que são "monstruosas", de inteligência descomunal, e conseguem não só desenvolver resultados impressionantes com base em ideias já existentes, mas também fornecer toda uma nova estrutura sobre a qual os demais estudiosos vão construir suas futuras pesquisas, por séculos e mais séculos e além. São praticamente anjos anônimos da humanidade que, no silêncio de seus gabinetes, só com lápis e papel, trazem o verdadeiro progresso para os povos.

PEQUENO TEOREMA: critério de divisibilidade por $n$ na base $n+1$

Brincando agora mesmo, durante a madrugada (para pegar no sono), com bases numéricas, dei-me conta de uma curiosa propriedade: um número escrito em sua representação na base $n+1$ é divisível por $n$ se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por $n$. Ainda mais, se $n$ não for primo, o mesmo vai valer para seus divisores. Obviamente, por indução, o processo de soma dos algarismos pode ser repetido reiteradamente até que o critério de divisibilidade forneça um valor para o qual seja evidente se ele é ou não múltiplo do número pelo qual se deseja dividir. Quando não houver divisibilidade, o procedimento fornece o resto da divisão euclidiana (congruência modular).

A propriedade é de baixa utilidade prática e de fácil demonstração, mas investigá-la é divertido e pode ser iluminador quanto ao funcionamento das bases numéricas, de modo que recomendo fortemente que o leitor descubra sozinho o porquê de ela ser válida (dica: experimente um pouco com bases inusitadas, como 3 e 9, por exemplo, e depois generalize a demonstração para base $n+1$).

Não me dei ao trabalho de conferir (afinal agora, enquanto eu escrevo esta linha, são exatamente 2:20 da manhã), mas certamente não se trata de um resultado novo, já que é trivial a ponto de ser possível que uma pessoa se convença de sua validade sem nem usar caneta e papel. O caso particular na base usual é bem conhecido.

Bônus: se você leu esse texto até aqui, é sinal de que sabe o que é uma base numérica e se interessa pelo assunto. Portanto, com certeza vai apreciar a piada da tirinha abaixo, que é uma das minhas favoritas: