A "óbvia" interseção de curvas no interior de um quadrado

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Recentemente, deparei-me com um problema que não parecia apresentar qualquer dificuldade considerável. É o seguinte:

Dado um quadrado ABCD, com os vértices A e C estando diagonalmente opostos, suponha que uma curva (contínua) saia de A e chegue em C e que outra curva saia de D e chegue em B. Considerando que as curvas não escapam do quadrado, é verdade que elas necessariamente se interceptam em pelo menos um ponto?

Evidentemente, a resposta é sim. Mas a prova para isso está longe de ser trivial.

Esta imagem foi gerada por IA com base em um esboço que fiz em um papel.

Com exceção das imagens, nenhum conteúdo deste blog utiliza IA. Em particular, nem uma única linha de texto foi ou será publicada aqui sem que seja de minha exclusiva autoria, sem qualquer interferência de inteligência artificial.

DESAFIO DE PROBABILIDADE: vitórias sucessivas

Um curioso desafio de probabilidade:

Para encorajar a promissora carreira de tenista do Elmer, o pai dele prometeu lhe dar um prêmio se ele vencer pelo menos duas partidas consecutivas em um torneio de tênis com três partidas. Elmer vai jogar as três partidas, alternando jogos com o pai e com o campeão do torneio anterior. Assim, ele pode jogar na sequência pai-campeão-pai ou na sequência campeão-pai-campeão. Quem vai escolher qual vai ser a sequência dos jogos será o próprio Elmer.

Sabendo que o campeão é um jogador melhor do que o pai, qual sequência de jogos Elmer deve escolher para ter maior chance de ganhar o prêmio?

Resolução abaixo.

DESAFIO: paridade e apertos de mão

Um desafio interessante para alegrar o seu dia:

Considere que todas as pessoas vivas já trocaram apertos de mão com outras pessoas. Prove que o número de pessoas que trocaram apertos de mão uma quantidade ímpar de vezes é, necessariamente, um número par.

Recomendo imensamente que o leitor tente resolver o desafio sem ler a resposta. Mas, de qualquer maneira, deixo a solução logo abaixo.

UM PARADOXO CURIOSO (Paradoxo de Berry)

Quando formamos expressões auto-referenciais (isto é, expressões que, direta ou indiretamente, fazem referência a si mesmas) é frequente que surjam paradoxos. O exemplo mais famoso é o Paradoxo de Russell, que leva em conta o conjunto M de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos. A pergunta é: será que M contém M? Esse paradoxo é análogo ao ainda mais famoso Paradoxo do Barbeiro, o qual, por brevidade, deixo de transcrever aqui. Para quem ainda não o conhece, clique aqui e se divirta (ou enlouqueça) com suas contradições lógicas.

O paradoxo que vou apresentar hoje, conhecido como Paradoxo de Berry, é um paradoxo que eu considero ainda mais interessante.

Um desafio simples (e uma generalização mirabolante!)

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Ontem me enviaram um desses desafios de lógica de WhatsApp. O desafio é simples: utilizando sinais matemáticos usuais, fazer com que se verifiquem as seguintes igualdades (a primeira já está resolvida, como exemplo):

DESAFIO DE LÓGICA: Baralhos, Cubos Mágicos e Mega-Sena

Na semana passada, publiquei no meu Facebook o seguinte desafio: qual das alternativas abaixo é a mais provável de acontecer? E qual é a mais improvável?

A) Em um baralho comum já desorganizado depois de uma partida qualquer, embaralhar as cartas de modo completamente aleatório e no final sair com o baralho perfeitamente organizado, do jeito que ele veio quando foi comprado;

B) Em um cubo mágico desorganizado a esmo, mexer nele de modo completamente aleatório (de olhos fechados) e, no final, sair com o cubo resolvido, com todas as cores na posição correta;

C) Ganhar na Mega-Sena participando apenas uma vez e com um único jogo de seis números.

DESAFIO DE LÓGICA: Os tomates malditos (nível de dificuldade elevado)

A questão abaixo é um dos desafios de lógica mais difíceis que já encontrei. Trata-se de uma variante mais elaborada dos clássicos desafios de pesagens que tipicamente são apresentados para jovens e crianças na escola ou em olimpíadas de matemática. Mas não se engane: o grau de dificuldade deste que vou apresentar agora é insanamente alto, até mesmo para adultos. Tanto que, para não deixar o leitor angustiado enquanto tenta encontrar uma resposta, já afirmo de antemão que é possível sim completar o desafio. Existe mesmo uma solução, e não há nenhuma "pegadinha" para atrapalhar.

DESAFIO DE LÓGICA: o enigma do guardião honesto e do guardião mentiroso

O enigma do guardião honesto e do guardião mentiroso é um dos desafios de lógica mais clássicos que existem. Para quem já conhece a solução, recomendo que tente resolver a versão mais difícil que eu propus na postagem anterior ("o problema dos olhos pretos e dos olhos azuis"). Para quem ainda não conhece o enigma, fica o desafio:

Você está andando por um corredor imenso e percebe que no final dele existem duas portas, cada uma vigiada por um guardião. Existe uma que lhe dá um pote de ouro e uma que o leva à morte. Você está livre para escolher a porta que quiser, mas não há como saber qual é qual. Você só pode fazer uma única pergunta para apenas um dos guardiões. Mas há um problema: um deles sempre fala a verdade, enquanto o outro nunca fala a verdade. Para piorar, você não sabe qual dos guardiões é o honesto e qual é o mentiroso. Nessas condições, qual pergunta você faria para conseguir determinar com total certeza qual é a porta atrás da qual se esconde o pote de ouro?

DESAFIO DE LÓGICA: O problema dos olhos pretos e dos olhos azuis

"O problema dos olhos pretos e dos olhos azuis" é apresentado em meio a uma das muitas aventuras do calculista persa Beremiz Samir, protagonista do livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan (sobre o qual já falei em uma das primeiras publicações aqui no blog). O problema é similar ao famoso enigma do honesto e do mentiroso, mas envolve um detalhe a mais que torna tudo ainda mais interessante. A versão do problema que aqui proponho é ligeiramente diferente daquela contida no livro, pois a versão original, tendo sido direcionada para crianças, é fácil demais.

Na história de Malba Tahan, o habilidoso calculista, para poder se casar com sua amada Telassim, é confrontado por um desafio de raciocínio lógico proposto pelo califa Al-Motacem. Se ele conseguir resolver esse enigma – sobre o qual, segundo o califa, centenas de sábios, poetas e escribas já pensaram sem sucesso –, então poderá se casar com Telassim; caso contrário, terá que desistir para sempre do seu amor.

QUANTOS HEXÁGONOS EXISTEM NA BIBLIOTECA DE BABEL? (Um rápido exercício de Combinatória)

Esta postagem nada mais é do que uma mera curiosidade sobre o conto A Biblioteca de Babel, do escritor argentino Jorge Luis Borges (1899-1986). Muito embora o conto seja de uma profundidade tão grande que consiga maravilhar e assombrar os pensamentos do leitor com intensidade renovada a cada releitura, acabei resistindo ao impulso de escrever uma análise detalhada da obra. Acredito, sem pesar, que fiz bem, pois as interpretações que se pode extrair da história são incontáveis, e não há nada melhor do que simplesmente ler o brilhante texto original.

Assim, neste breve artigo, procuro apenas responder à seguinte pergunta: no universo descrito por Borges, quantas galerias hexagonais existem na supostamente infinita Biblioteca de Babel?