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Provas falsas, em matemática, são excelentes oportunidades para aprendermos a redobrar a cautela. Abaixo, apresento um raciocínio falacioso que tenta nos persuadir de que uma soma infinita pode ter qualquer valor que desejarmos.
Considere uma série $\displaystyle S = \sum_{i=1}^{\infty} a_i$.
Escolha um número $x \in \mathbb{R}$ qualquer.
As somas parciais da série são $$s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.$$
Definindo $s_0 = 0$, podemos escrever $$a_n = s_n - s_{n-1}.$$
Subtraindo e somando $x$, temos que $$a_n = (s_n-x)-(s_{n-1}-x).$$ Isto é,
Ao somar $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, note como os termos nas diagonais sempre se cancelam:
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} a_i = x.$$
Isso vale para qualquer $x \in \mathbb{R}$ que poderíamos ter escolhido.
A pergunta incontornável é: onde está o erro nesta falsa demonstração?
Para finalizar, deixo a palavra com Gauss: "Protesto contra o uso de magnitudes infinitas como algo fixo e estabelecido, o que nunca é permitido em matemática. O infinito é apenas uma figura de linguagem, e seu verdadeiro significado é sempre um processo de limite".
[O conteúdo desta postagem foi extraído do livro Probability Theory: The Logic of Science, de E. T. Jaynes.]
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