Onde Está o Volume da Bola n-Dimensional?

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Esta postagem é direcionada para estudantes de matemática. Ela envolve conceitos básicos de Espaços Métricos em $n$ dimensões.

Vou apresentar uma curiosidade inusitada envolvendo o volume da bola em diferentes dimensões.

[Imagem gerada pela IA Gemini]

Vale lembrar que a bola fechada de centro $0$ e raio $1$, em $n$ dimensões, é o conjunto $$B_n[0, 1] = \left\lbrace x \in \mathbb{R}^n; \; \|x\| \leq 1 \right\rbrace.$$Uma propriedade um tanto contraintuitiva da bola $n$-dimensional é que seu volume está cada vez mais concentrado na casca, e não na região central, à medida que aumentamos a quantidade de dimensões ($n \to \infty$).

A casca de espessura $\varepsilon$, com $0 < \varepsilon < 1$, é o conjunto $$C_n(\varepsilon) = \left\lbrace x \in \mathbb{R}^n; \; 1 - \varepsilon \leq \|x\| \leq 1 \right\rbrace.$$Você também pode pensar nela como o que resta da bola de raio 1 quando dela se remove a bola interior de raio $(1-\varepsilon)$.

[Imagem gerada pela IA Gemini]

Para $\varepsilon$ extremamente pequeno, a casca tem nada mais do que um fiapinho de espessura. Ainda assim, quando aumentamos o número de dimensões, essa casquinha contém mais volume do que todo o restante do interior da bola.

Para provar isso, poderíamos usar a fórmula para o volume da bola $n$-dimensional. Mas há uma maneira mais simples.

Sabemos que o volume de uma bola $n$-dimensional $B_n[0, r]$ de centro $0$ e raio $r$ é proporcional a $r^n$. É dizer:$$Vol\big(B_n[0, r]\big) = c_n r^n,$$onde $c_n$ é uma constante para cada quantidade $n$ de dimensões.

Assim, o volume da bola unitária em $n$-dimensões é $$Vol\big(B_n[0, 1]\big) = c_n 1^n=c_n.$$Já o volume da bola interior (a ser removida para gerar a casca) é $$Vol\big(B_n[0, 1-\varepsilon]\big) = c_n (1-\varepsilon)^n.$$O volume da casca $C_n(\varepsilon)$ é a diferença$$Vol\big(C_n(\varepsilon)\big) =  Vol\big(B_n[0, 1]\big) - Vol\big(B_n[0, 1-\varepsilon]\big),$$ou seja,$$Vol\big(C_n(\varepsilon)\big) = c_n - c_n(1-\varepsilon)^n.$$Com base nisso, vamos comparar o volume da casca com o volume da bola unitária:$$\dfrac{Vol\big(C_n(\varepsilon)\big)}{Vol\big(B_n[0, 1]\big)} = \dfrac{c_n - c_n(1-\varepsilon)^n}{c_n} = 1 - (1-\varepsilon)^n.$$Agora, note que $(1-\varepsilon)^n \to 0$ quando $n \to \infty$, pois $(1- \varepsilon) < 1$. Isso significa que, para qualquer $\varepsilon \in (0, 1)$ escolhido, vale que $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{Vol\big(C_n(\varepsilon)\big)}{Vol\big(B_n[0, 1]\big)} = 1.$$Ou seja, a proporção do volume da casquinha com relação à bola completa tende a 100% quando $n \to \infty$.

Em outras palavras: quanto mais dimensões houver, mais o volume da bola se concentra na casca, por mais fina que ela seja. Uma laranja com infinitas dimensões não possui polpa.

Em valores concretos, tomando a título de exemplo $\varepsilon = 0.1$, temos a seguinte tabela:

[Imagem gerada pela IA Gemini]

Interpretar esse fenômeno é um desafio que proponho ao leitor.