Brincando agora mesmo, durante a madrugada (para pegar no sono), com bases numéricas, dei-me conta de uma curiosa propriedade: um número escrito em sua representação na base $n+1$ é divisível por $n$ se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por $n$. Ainda mais, se $n$ não for primo, o mesmo vai valer para seus divisores. Obviamente, por indução, o processo de soma dos algarismos pode ser repetido reiteradamente até que o critério de divisibilidade forneça um valor para o qual seja evidente se ele é ou não múltiplo do número pelo qual se deseja dividir. Quando não houver divisibilidade, o procedimento fornece o resto da divisão euclidiana (congruência modular).
A propriedade é de baixa utilidade prática e de fácil demonstração, mas investigá-la é divertido e pode ser iluminador quanto ao funcionamento das bases numéricas, de modo que recomendo fortemente que o leitor descubra sozinho o porquê de ela ser válida (dica: experimente um pouco com bases inusitadas, como 3 e 9, por exemplo, e depois generalize a demonstração para base $n+1$).
Não me dei ao trabalho de conferir (afinal agora, enquanto eu escrevo esta linha, são exatamente 2:20 da manhã), mas certamente não se trata de um resultado novo, já que é trivial a ponto de ser possível que uma pessoa se convença de sua validade sem nem usar caneta e papel. O caso particular na base usual é bem conhecido.
Bônus: se você leu esse texto até aqui, é sinal de que sabe o que é uma base numérica e se interessa pelo assunto. Portanto, com certeza vai apreciar a piada da tirinha abaixo, que é uma das minhas favoritas:
