Um argumento geométrico para demonstrar a irracionalidade de $\sqrt{2}$

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John Conway foi um matemático britânico que, recentemente, faleceu em decorrência do novo coronavírus. Ele nos deixou uma obra vasta e importante na matemática, abordando assuntos complexos, como teoria dos grupos, teoria dos nós, teoria dos números e teoria dos jogos. Hoje, contudo, apresentarei uma criação extremamente simples, mas belíssima, que Conway propôs para fornecer uma visualização geométrica da irracionalidade de $\sqrt{2}$.

Tradicionalmente, prova-se que a raiz quadrada de 2 é irracional por uma redução ao absurdo que envolve contradição quanto à paridade dos números naturais que comporiam uma suposta fração que, se elevada ao quadrado, resultaria em 2. O argumento de Conway, similar na abordagem, é mais simples e visual, mostrando uma impossibilidade relacionada à adição de áreas de certas figuras.

Vejamos.

Se $\sqrt{2}$ fosse racional, haveria uma fração $\dfrac{p}{q}$, com $p$ e $q$ naturais, tal que $\dfrac{p}{q} = \sqrt{2}$. Supondo, por absurdo, que isso fosse verdade, obteríamos:

$\dfrac{p}{q} = \sqrt{2} \Rightarrow \left(\dfrac{p}{q}\right)^2 = 2 \Rightarrow p^2 = 2 \cdot q^2$

$\Rightarrow p^2 = q^2 + q^2$

Isso significa que deveria ser possível adicionar as áreas de dois quadrados geométricos de lado $q$ e obter a área de um quadrado maior, de lado $p$, nos moldes da ilustração abaixo:

Tentando fazer essa adição deslocando a posição dos quadrados, obteríamos uma interseção. Assim:

Observe que as medidas dos lados do quadrados menores também são números naturais. Pela construção feita, os lados de cada quadradinho azul medem $p-q$ e os do quadradinho vermelho escuro medem $p-2(p-q)=2q-p$. Ambos os números são naturais, pois a subtração de dois naturais é sempre um valor inteiro.

Agora note que, para que a soma das áreas dos quadrados vermelhos tenha o mesmo tamanho da área do quadrado azul, é necessário que a região mais escura, de interseção entre os quadrados vermelhos, seja igual à área dos dois quadradinhos azuis menores. Isso exigiria a existência de mais dois quadrados cuja soma das áreas resultasse na área de um quadrado maior.

Ora, mas a situação da imagem acima é perfeitamente análoga à situação inicial. Assim, deveria ser possível repetir o procedimento mais uma vez, e depois de novo, e de novo, indefinidamente, numa sucessão sem fim, obtendo quadradinhos cada vez menores. Contudo, os números naturais são limitados por baixo (nenhum número natural não nulo é menor do que 1). Logo, o processo deve ter um fim.

Por esse absurdo, vemos que não existem $p, q \in \mathbb{N}$ tais que $\dfrac{p}{q}=\sqrt{2}$.

Portanto $\sqrt{2}$ é irracional.

$\square$