Minha prova favorita do Teorema de Pitágoras

Um dos primeiros teoremas que aprendemos no ensino fundamental é o Teorema de Pitágoras. Sabemos que nem sempre sua demonstração é apresentada aos alunos (embora devesse ser), mas, das centenas de maneiras que existem para prová-lo, várias delas são bastante fáceis. A que mais me agrada, por ser uma das mais simples e diretas, é a que indico agora.

Além da rapidez com que essa demonstração pode ser ensinada, ela tem a vantagem de possuir um forte apelo visual que a maior parte das outras demonstrações não possui. E esse apelo visual, sendo extremamente elementar, proporciona um refinamento a mais na compreensão do significado do teorema.

Primeiro farei uma exposição didática e detalhada. Ao fim, apresentarei a mesma demonstração em apenas um parágrafo e uma imagem (sinta-se à vontade para ler apenas o último parágrafo, se você já tiver experiência com geometria).

A prova:

Dado um triângulo retângulo qualquer, como na figura abaixo, queremos mostrar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, queremos provar que $a^2 + b^2 = c^2$.

Considerando um triângulo de lados $a$, $b$ e $c$ e ângulos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, com $\gamma = 90^\circ$, como indicado acima, podemos sempre construir um triângulo que lhe seja semelhante, mantendo os mesmos ângulos e multiplicando o comprimento dos lados por $c$.

Fazendo isso, obteremos um triângulo com as seguintes medidas:

A partir desse triângulo, podemos acrescentar dois novos triângulos, $BCD$ e $ACE$, a fim de formar o retângulo $ABDE$, da seguinte maneira:

Pela construção, temos que os ângulos $\hat{D}$ e $\hat{E}$ são retos, já que são ângulos internos de um retângulo.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre $180^\circ$. Assim, como $\gamma=90^\circ$, temos que $\alpha + \beta = 90^\circ$ (ou seja, $\alpha$ e $\beta$ são complementares um ao outro). Desse modo, como $A\hat{B}D = 90^\circ$ e $B\hat{A}E = 90^\circ$, temos que $C\hat{B}D = \alpha$ e $C\hat{A}E = \beta$, conforme a figura abaixo, na qual cores idênticas representam ângulos de mesma medida.

Note, agora, que todos os triângulos ($ABC$, $BCD$ e $ACE$) possuem ângulos de mesma medida. Logo, são semelhantes entre si (e também ao triângulo original).

Como a hipotenusa de $BCD$ mede $ac$, e a do primeiro triângulo media $c$, temos que a razão de semelhança entre eles é $a$. Assim, o cateto maior deve medir $ba$ e o cateto menor deve medir $aa$.

Similarmente, como a hipotenusa de $ACE$ mede $bc$, a razão de semelhança entre esse triângulo e o triângulo retângulo original é $b$. Assim, os catetos devem medir $ab$ e $bb$.

Tudo isso está indicado na figura abaixo:

Deixando apenas os dados que nos interessam, temos:

Evidentemente, $\overline{DE} = \overline{BA}$. Então $aa + bb = cc$.

Ou seja: $a^2 + b^2 = c^2$. Como queríamos demonstrar.

O raciocínio em um parágrafo e uma imagem:

Dado um triângulo retângulo qualquer, construa três triângulos que lhe sejam semelhantes com razão de semelhança de $a$, $b$ e $c$. Encaixe-os de modo conveniente, formando um retângulo (o que será sempre possível, já que os ângulos são propícios) e observe que a comparação entre os lados do retângulo dará de imediato a relação pitagórica.