Quando formamos expressões auto-referenciais (isto é, expressões que, direta ou indiretamente, fazem referência a si mesmas) é frequente que surjam paradoxos. O exemplo mais famoso é o Paradoxo de Russell, que leva em conta o conjunto M de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos. A pergunta é: será que M contém M? Esse paradoxo é análogo ao ainda mais famoso Paradoxo do Barbeiro, o qual, por brevidade, deixo de transcrever aqui. Para quem ainda não o conhece, clique aqui e se divirta (ou enlouqueça) com suas contradições lógicas.
O paradoxo que vou apresentar hoje, conhecido como Paradoxo de Berry, é um paradoxo que eu considero ainda mais interessante.
Pense na seguinte frase inocente: "o menor número inteiro positivo que não pode ser definido com menos de setenta e sete letras".
Como o alfabeto tem vinte e seis letras, existe apenas uma quantidade finita de frases com menos de setenta e sete letras. Por isso, a quantidade de inteiros positivos que podem ser definidos por meio de frases com menos de setenta e sete letras é, com toda certeza, uma quantidade finita. Por outro lado, há uma infinidade de números inteiros positivos, de forma que existem inteiros positivos que não podem ser definidos por frases com menos de setenta e sete letras. Entre eles, deve existir um que seja menor do que todos os outros: é a esse número que se refere a expressão "o menor número inteiro positivo que não pode ser definido com menos de setenta e sete letras". Contudo, essa expressão tem apenas setenta e seis letras, ou seja, menos do que setenta e sete. Desse modo, o suposto número indicado pela frase é, sim, definível em menos de setenta e sete letras, o que faz com que ele deixe de ser definido pela frase... É aí que reside o paradoxo: qualquer número que pudesse ser definido pela expressão seria definível em menos de setenta e sete letras, o que a faria entrar em contradição com ela mesma!
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