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Ontem me enviaram um desses desafios de lógica de WhatsApp. O desafio é simples: utilizando sinais matemáticos usuais, fazer com que se verifiquem as seguintes igualdades (a primeira já está resolvida, como exemplo):
$2 + 2 + 2 = 6$
$3 \underline{\quad \,} 3 \underline{\quad \,} 3 = 6$
$4 \underline{\quad \,} 4 \underline{\quad \,} 4 = 6$
$5 \underline{\quad \,} 5 \underline{\quad \,} 5 = 6$
$6 \underline{\quad \,} 6 \underline{\quad \,} 6 = 6$
$7 \underline{\quad \,} 7 \underline{\quad \,} 7 = 6$
$8 \underline{\quad \,} 8 \underline{\quad \,} 8 = 6$
$9 \underline{\quad \,} 9 \underline{\quad \,} 9 = 6$
Com pouca dificuldade, também é possível encontrar respostas para os casos com $1$ e até com $0$.
Não vou fornecer as respostas aqui, mas, se alguém tiver dificuldades, escreva para mim que eu auxilio na resolução.
O que aconteceu, no entanto, é que eu fiquei incomodado com a única resposta que, a princípio, encontrei para o caso do $8$. A solução foi $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 6$. Contudo, a notação para raiz cúbica envolve a utilização de um algarismo $3$, e isso me deixou insatisfeito. Se é permitido usar raiz cúbica, então por que não seria permitido usar raízes $n$-ésimas ou quaisquer outras potências e logaritmos? Mas aí o desafio perderia a graça: bastaria escolher o expoente adequado e seria possível ter como resultado qualquer número desejado.
Então me impus o desafio mais difícil de não poder usar notações que envolvam algarismos extras. E mais: por que deveríamos nos restringir apenas aos números de apenas um dígito? Melhor ainda: por que deveríamos ficar limitados apenas aos números naturais?
Então encontrei uma generalização mirabolante que torna verdadeira a equação $x \underline{\quad \,} x \underline{\quad \,} x = 6$ para qualquer número $x$ real.
A generalização faz uso da arcotangente (em radianos) e da função teto.
Recordando: o teto de um número real $x$ (denotado por $\lceil x \rceil$) é o menor número natural imediatamente maior que ou igual a $x$ (informalmente, o teto é o arredondamento para cima de um número qualquer). Por exemplo: $\lceil 2,74 \rceil = 3$, $\lceil 5,01 \rceil = 6$ e $\lceil 7 \rceil = 7$.
Lembrando que $0 < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2} < 2$ para todo $x \in R^{+}$, podemos fazer:
$(x! + x! + x!)! = 6$
A verificação de que as soluções são válidas fica a cargo do leitor.
Exemplo: como resolver $0,74 \underline{\quad \,} 0,74 \underline{\quad \,} 0,74 = 6$?
Ora, aplicando arcotangente, temos $0 < \arctan(0,74) < 1$ (o valor exato não importa aqui). Em seguida, tomando o teto, obtemos, com certeza, $\lceil \arctan(0,74) \rceil = 1$. Agora somamos esse número três vezes e, por fim, aplicamos o fatorial.
Ou seja:
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Ontem me enviaram um desses desafios de lógica de WhatsApp. O desafio é simples: utilizando sinais matemáticos usuais, fazer com que se verifiquem as seguintes igualdades (a primeira já está resolvida, como exemplo):
$2 + 2 + 2 = 6$
$3 \underline{\quad \,} 3 \underline{\quad \,} 3 = 6$
$4 \underline{\quad \,} 4 \underline{\quad \,} 4 = 6$
$5 \underline{\quad \,} 5 \underline{\quad \,} 5 = 6$
$6 \underline{\quad \,} 6 \underline{\quad \,} 6 = 6$
$7 \underline{\quad \,} 7 \underline{\quad \,} 7 = 6$
$8 \underline{\quad \,} 8 \underline{\quad \,} 8 = 6$
$9 \underline{\quad \,} 9 \underline{\quad \,} 9 = 6$
Com pouca dificuldade, também é possível encontrar respostas para os casos com $1$ e até com $0$.
Não vou fornecer as respostas aqui, mas, se alguém tiver dificuldades, escreva para mim que eu auxilio na resolução.
O que aconteceu, no entanto, é que eu fiquei incomodado com a única resposta que, a princípio, encontrei para o caso do $8$. A solução foi $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 6$. Contudo, a notação para raiz cúbica envolve a utilização de um algarismo $3$, e isso me deixou insatisfeito. Se é permitido usar raiz cúbica, então por que não seria permitido usar raízes $n$-ésimas ou quaisquer outras potências e logaritmos? Mas aí o desafio perderia a graça: bastaria escolher o expoente adequado e seria possível ter como resultado qualquer número desejado.
Então me impus o desafio mais difícil de não poder usar notações que envolvam algarismos extras. E mais: por que deveríamos nos restringir apenas aos números de apenas um dígito? Melhor ainda: por que deveríamos ficar limitados apenas aos números naturais?
Então encontrei uma generalização mirabolante que torna verdadeira a equação $x \underline{\quad \,} x \underline{\quad \,} x = 6$ para qualquer número $x$ real.
A generalização faz uso da arcotangente (em radianos) e da função teto.
Recordando: o teto de um número real $x$ (denotado por $\lceil x \rceil$) é o menor número natural imediatamente maior que ou igual a $x$ (informalmente, o teto é o arredondamento para cima de um número qualquer). Por exemplo: $\lceil 2,74 \rceil = 3$, $\lceil 5,01 \rceil = 6$ e $\lceil 7 \rceil = 7$.
Lembrando que $0 < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2} < 2$ para todo $x \in R^{+}$, podemos fazer:
- Caso 1: se $x = 0$
$(x! + x! + x!)! = 6$
- Caso 2: se $0 < x \leq tg(1)$
$\left( \lceil \arctan(x) \rceil + \lceil \arctan(x) \rceil + \lceil \arctan(x) \rceil \right)! = 6$
- Caso 3: se $tg(1) < x$
$\lceil \arctan(x) \rceil + \lceil \arctan(x) \rceil + \lceil \arctan(x) \rceil = 6$
- Caso 4: se $x < 0$
Tomar $-x$ e retornar a algum dos casos anteriores.
A verificação de que as soluções são válidas fica a cargo do leitor.
Exemplo: como resolver $0,74 \underline{\quad \,} 0,74 \underline{\quad \,} 0,74 = 6$?
Ora, aplicando arcotangente, temos $0 < \arctan(0,74) < 1$ (o valor exato não importa aqui). Em seguida, tomando o teto, obtemos, com certeza, $\lceil \arctan(0,74) \rceil = 1$. Agora somamos esse número três vezes e, por fim, aplicamos o fatorial.
Ou seja:
$\left( \lceil \arctan(0,74) \rceil + \lceil \arctan(0,74) \rceil + \lceil \arctan(0,74) \rceil \right)! =6$.
Se alguém descobrir outra maneira de resolver o desafio, indique nos comentários!
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