DESAFIO DE PROBABILIDADE: vitórias sucessivas

Um curioso desafio de probabilidade:

Para encorajar a promissora carreira de tenista do Elmer, o pai dele prometeu lhe dar um prêmio se ele vencer pelo menos duas partidas consecutivas em um torneio de tênis com três partidas. Elmer vai jogar as três partidas, alternando jogos com o pai e com o campeão do torneio anterior. Assim, ele pode jogar na sequência pai-campeão-pai ou na sequência campeão-pai-campeão. Quem vai escolher qual vai ser a sequência dos jogos será o próprio Elmer.

Sabendo que o campeão é um jogador melhor do que o pai, qual sequência de jogos Elmer deve escolher para ter maior chance de ganhar o prêmio?

Resolução abaixo.

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RESOLUÇÃO:

Intuitivamente, poderíamos pensar que, como o campeão é um jogador melhor, Elmer deveria escolher a sequência de partidas em que ele jogue  mais vezes com o pai do que com o campeão.

Por outro lado, como Elmer precisa obter duas vitórias sucessivas para ganhar o prêmio, observamos que ele necessariamente tem de vencer a segunda partida para que seja possível alcançar seu intento. Isso faz do jogo intermediário um jogo "estratégico", e então talvez seria melhor que Elmer escolhesse a sequência em que a segunda partida seja disputada contra o pai, que é um adversário menos desafiador.

Qual dos dois raciocínios devemos adotar?

Sejamos meticulosos e pensemos matematicamente.

Vamos chamar de $p$ a probabilidade de Elmer vencer uma dada partida contra o pai e de $q$ a probabilidade de Elmer vencer uma dada partida contra o campeão. Como o campeão é um jogador melhor, temos que $p>q$ (a chance de Elmer ganhar do pai é maior do que a chance de Elmer ganhar do campeão).

Vamos calcular, em função de $p$ e $q$, as probabilidades de Elmer vencer pelo menos duas partidas seguidas em cada opção de sequência (P-C-P e C-P-C, onde P representa um jogo contra o pai e C representa um jogo contra o campeão).

Antes, uma pequena observação: se a chance de Elmer vencer o jogo contra o pai é $p$, então a chance de ele não vencer é $(1-p)$.

• Opção de sequência P-C-P

A chance de Elmer vencer as três partidas é de $pqp$ (sem trocadilhos!).

A chance de Elmer vencer a primeira partida, vencer a segunda e perder a terceira é de $pq(1-p)$.

A chance de Elmer perder a primeira partida, vencer a segunda e vencer a terceira é de $(1-p)qp$.

Na sequência P-C-P, não há nenhum outro caso em que Elmer ganhe o prêmio. Portanto a probabilidade $P_1$ de Elmer ganhar o torneio é de:

$P_1=pqp+pq(1-p)+(1-p)qp$

• Opção de sequência C-P-C

A chance de Elmer vencer as três partidas é de $qpq$.

A chance de Elmer vencer a primeira partida, vencer a segunda e perder a terceira é de $qp(1-q)$.

A chance de Elmer perder a primeira partida, vencer a segunda e vencer a terceira é de $(1-q)pq$.

Na sequência C-P-C, não há nenhum outro caso em que Elmer ganhe o prêmio. Portanto a probabilidade $P_2$ de Elmer ganhar o torneio é de:

$P_2=qpq+qp(1-q)+(1-q)pq$

Agora devemos comparar $P_1$ e $P_2$.

Afirmamos que $P_1 < P_2$.

De fato:

$P1 < P2$

$\Leftrightarrow$

$pqp + pq(1-p) + (1-p)qp < qpq + qp(1-q) + (1-q)pq$

$\Leftrightarrow$

$pq\Big[p+(1-p)+(1-p)\Big] < pq\Big[q + (1-q) + (1-q)\Big]$

$\Leftrightarrow$

$pq(2-p)<pq(2-q)$

$\Leftrightarrow$

$2-p < 2-q$

$\Leftrightarrow$

$-p <-q$

$\Leftrightarrow$

$p>q$

(O que é verdade, já que a chance de Elmer vencer o pai é maior do que a chance de Elmer vencer o campeão.)

Portanto Elmer tem mais chance de vencer se jogar na sequência campeão-pai-campeão do que na sequência pai-campeão-pai.

Comentário:

Muitos de nós temos a tendência de supor que, quanto maior o número de vitórias esperadas, maior a probabilidade de ganhar um prêmio, e normalmente esse suposição é útil. Ocorre que, ocasionalmente, uma situação têm condições especiais que destroem a validade desse raciocínio. O desafio de probabilidade das vitórias sucessivas de Elmer é um exemplo simples que ilustra esse fato.

Fonte:

O desafio foi extraído do livro "Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions", de Frederick Mosteller.