DESAFIO DE PROBABILIDADE: vitórias sucessivas

Um curioso desafio de probabilidade:

Para encorajar a promissora carreira de tenista do Elmer, o pai dele prometeu lhe dar um prêmio se ele vencer pelo menos duas partidas consecutivas em um torneio de tênis com três partidas. Elmer vai jogar as três partidas, alternando jogos com o pai e com o campeão do torneio anterior. Assim, ele pode jogar na sequência pai-campeão-pai ou na sequência campeão-pai-campeão. Quem vai escolher qual vai ser a sequência dos jogos será o próprio Elmer.

Sabendo que o campeão é um jogador melhor do que o pai, qual sequência de jogos Elmer deve escolher para ter maior chance de ganhar o prêmio?

Resolução abaixo.

DESAFIO: paridade e apertos de mão

Um desafio interessante para alegrar o seu dia:

Considere que todas as pessoas vivas já trocaram apertos de mão com outras pessoas. Prove que o número de pessoas que trocaram apertos de mão uma quantidade ímpar de vezes é, necessariamente, um número par.

Recomendo imensamente que o leitor tente resolver o desafio sem ler a resposta. Mas, de qualquer maneira, deixo a solução logo abaixo.

HONESTIDADE INTELECTUAL: o que sabemos, o que não sabemos e a importância de discerni-los

"Precisamos ensinar que a dúvida não deve ser temida, mas que é bem-vinda e merece ser debatida. Não há problema em dizer 'eu não sei'." – Richard Feynman.

Ao contrário do que a vaidade social muitas vezes parece impor, exigindo certezas mesmo quando não as temos, o caminho para o conhecimento é delineado à luz de dúvidas e questionamentos, pavimentado por incertezas e percorrido com passos titubeantes e modestos, ainda que movidos por grande coragem. Como um sol no horizonte para o qual caminhamos sem nunca alcançar – mas sem o qual não poderíamos sequer dar o primeiro passo –, é o cálido brilho das incertezas e das boas perguntas que nos atrai em direção à verdade, e não a rigidez fria das respostas consolidadas.

Einstein, em um de seus trabalhos mais importantes e revolucionários sobre o conceito de fótons, não começou dizendo "Agora sabemos que" ou apresentando afirmações categóricas com base nas formulações teóricas e nas equações plenamente consistentes que ele passaria a expor. Muito menos ele apelou para a sólida autoridade conquistada com seu merecido sucesso na construção da Teoria da Relatividade. Muito diferentemente, o que ele escreveu foi:

PEDAGOGIA: repetição X instrução

"Há um poço. E há aquele modo velho de ensinar: não se aproximem do poço. E há depois um outro modo: tenho uma corda com o tamanho exato; atirem-se ao poço, permaneçam alguns dias, e, quando quiserem, subam pela corda que vos ofereço. Eis duas pedagogias: a do medroso e a daquele que conhece a importância da curiosidade e a da fita métrica." – Gonçalo M. Tavares (trecho do livro "Biblioteca").

UM PARADOXO CURIOSO (Paradoxo de Berry)

Quando formamos expressões auto-referenciais (isto é, expressões que, direta ou indiretamente, fazem referência a si mesmas) é frequente que surjam paradoxos. O exemplo mais famoso é o Paradoxo de Russell, que leva em conta o conjunto M de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos. A pergunta é: será que M contém M? Esse paradoxo é análogo ao ainda mais famoso Paradoxo do Barbeiro, o qual, por brevidade, deixo de transcrever aqui. Para quem ainda não o conhece, clique aqui e se divirta (ou enlouqueça) com suas contradições lógicas.

O paradoxo que vou apresentar hoje, conhecido como Paradoxo de Berry, é um paradoxo que eu considero ainda mais interessante.

Um desafio simples (e uma generalização mirabolante!)

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Ontem me enviaram um desses desafios de lógica de WhatsApp. O desafio é simples: utilizando sinais matemáticos usuais, fazer com que se verifiquem as seguintes igualdades (a primeira já está resolvida, como exemplo):

Matemática como fim em si mesma

"A matemática é uma língua em que se discutem aquelas partes do mundo real que podem ser descritas por números ou por relações semelhantes de ordem. Juntamente, porém, com o dever rotineiro de traduzir os fatos para esta língua, existe, para aqueles que têm aptidões neste campo, um prazer na própria atividade em si. Acham a linguagem mais rica do que seu conteúdo estéril; aquilo que é traduzido significa menos para eles do que a lógica e o estilo do dizer, e destes sons harmoniosos desenvolve-se a matemática como literatura por direito próprio. A Matemática, neste sentido, – a Matemática pura – é uma forma de poesia que possui com a prosa da Matemática prática a mesma relação que a poesia literária tem com a prosa em qualquer outra linguagem. Este elemento de poesia, o encanto em explorar o meio por amor ao meio, constitui um comportamento essencial do processo criador." – J. Bronowski.

O IMORTAL, texto de Alejandro Jodorowsky

Viajou por todo o mundo, leu, estudou, rezou, alterou suas configurações mentais, experimentou fórmulas alquímicas, até que enfim obteve o que tanto queria: a imortalidade física. "O tempo me concederá sua sabedoria, as gerações futuras vão me admirar, serei dono do planeta!". Foram passando os séculos. A humanidade continuou sua evolução: os corpos se estiraram, as mandíbulas se estreitaram, os crânios aumentaram de tamanho, os ossos perderam peso e as omoplatas se converteram em asas. O imortal vagava preso ao solo, causando asco à humanidade volante.

Os últimos anos de Felix Hausdorff

A não ser que você viva como um eremita ou resida em alguma pequena comunidade agrícola auto-sustentável (casos em que você não estaria lendo este texto), toda tecnologia que o cerca, do celular à internet, provém direta ou indiretamente de pesquisas e trabalhos intelectuais que levaram décadas para se concretizar. E quase todas essas pesquisas têm suas raízes na matemática ou ao menos utilizam a matemática como ferramenta indispensável.

Na matemática, similarmente a qualquer outra área de pesquisa ou ramo de serviço, existem pessoas fantásticas que trabalham arduamente dia após dia para desenvolver teoremas e apresentar resultados abstratos que um dia virão a encontrar aplicabilidades práticas diversas, mas ainda insuspeitas. Também existem alguns poucos indivíduos, desses que aparecem apenas uma vez ou outra a cada geração, que são "monstruosas", de inteligência descomunal, e conseguem não só desenvolver resultados impressionantes com base em ideias já existentes, mas também fornecer toda uma nova estrutura sobre a qual os demais estudiosos vão construir suas futuras pesquisas, por séculos e mais séculos e além. São praticamente anjos anônimos da humanidade que, no silêncio de seus gabinetes, só com lápis e papel, trazem o verdadeiro progresso para os povos.

PEQUENO TEOREMA: critério de divisibilidade por $n$ na base $n+1$

Brincando agora mesmo, durante a madrugada (para pegar no sono), com bases numéricas, dei-me conta de uma curiosa propriedade: um número escrito em sua representação na base $n+1$ é divisível por $n$ se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por $n$. Ainda mais, se $n$ não for primo, o mesmo vai valer para seus divisores. Obviamente, por indução, o processo de soma dos algarismos pode ser repetido reiteradamente até que o critério de divisibilidade forneça um valor para o qual seja evidente se ele é ou não múltiplo do número pelo qual se deseja dividir. Quando não houver divisibilidade, o procedimento fornece o resto da divisão euclidiana (congruência modular).

A propriedade é de baixa utilidade prática e de fácil demonstração, mas investigá-la é divertido e pode ser iluminador quanto ao funcionamento das bases numéricas, de modo que recomendo fortemente que o leitor descubra sozinho o porquê de ela ser válida (dica: experimente um pouco com bases inusitadas, como 3 e 9, por exemplo, e depois generalize a demonstração para base $n+1$).

Não me dei ao trabalho de conferir (afinal agora, enquanto eu escrevo esta linha, são exatamente 2:20 da manhã), mas certamente não se trata de um resultado novo, já que é trivial a ponto de ser possível que uma pessoa se convença de sua validade sem nem usar caneta e papel. O caso particular na base usual é bem conhecido.

Bônus: se você leu esse texto até aqui, é sinal de que sabe o que é uma base numérica e se interessa pelo assunto. Portanto, com certeza vai apreciar a piada da tirinha abaixo, que é uma das minhas favoritas: