DESAFIO DE PROBABILIDADE: vitórias sucessivas

Um curioso desafio de probabilidade:

Para encorajar a promissora carreira de tenista do Elmer, o pai dele prometeu lhe dar um prêmio se ele vencer pelo menos duas partidas consecutivas em um torneio de tênis com três partidas. Elmer vai jogar as três partidas, alternando jogos com o pai e com o campeão do torneio anterior. Assim, ele pode jogar na sequência pai-campeão-pai ou na sequência campeão-pai-campeão. Quem vai escolher qual vai ser a sequência dos jogos será o próprio Elmer.

Sabendo que o campeão é um jogador melhor do que o pai, qual sequência de jogos Elmer deve escolher para ter maior chance de ganhar o prêmio?

Resolução abaixo.

DESAFIO: paridade e apertos de mão

Um desafio interessante para alegrar o seu dia:

Considere que todas as pessoas vivas já trocaram apertos de mão com outras pessoas. Prove que o número de pessoas que trocaram apertos de mão uma quantidade ímpar de vezes é, necessariamente, um número par.

Recomendo imensamente que o leitor tente resolver o desafio sem ler a resposta. Mas, de qualquer maneira, deixo a solução logo abaixo.

HONESTIDADE INTELECTUAL: o que sabemos, o que não sabemos e a importância de discerni-los

"Precisamos ensinar que a dúvida não deve ser temida, mas que é bem-vinda e merece ser debatida. Não há problema em dizer 'eu não sei'." – Richard Feynman.

Ao contrário do que a vaidade social muitas vezes parece impor, exigindo certezas mesmo quando não as temos, o caminho para o conhecimento é delineado à luz de dúvidas e questionamentos, pavimentado por incertezas e percorrido com passos titubeantes e modestos, ainda que movidos por grande coragem. Como um sol no horizonte para o qual caminhamos sem nunca alcançar – mas sem o qual não poderíamos sequer dar o primeiro passo –, é o cálido brilho das incertezas e das boas perguntas que nos atrai em direção à verdade, e não a rigidez fria das respostas consolidadas.

Einstein, em um de seus trabalhos mais importantes e revolucionários sobre o conceito de fótons, não começou dizendo "Agora sabemos que" ou apresentando afirmações categóricas com base nas formulações teóricas e nas equações plenamente consistentes que ele passaria a expor. Muito menos ele apelou para a sólida autoridade conquistada com seu merecido sucesso na construção da Teoria da Relatividade. Muito diferentemente, o que ele escreveu foi:

PEDAGOGIA: repetição X instrução

"Há um poço. E há aquele modo velho de ensinar: não se aproximem do poço. E há depois um outro modo: tenho uma corda com o tamanho exato; atirem-se ao poço, permaneçam alguns dias, e, quando quiserem, subam pela corda que vos ofereço. Eis duas pedagogias: a do medroso e a daquele que conhece a importância da curiosidade e a da fita métrica." – Gonçalo M. Tavares (trecho do livro "Biblioteca").

UM PARADOXO CURIOSO (Paradoxo de Berry)

Quando formamos expressões auto-referenciais (isto é, expressões que, direta ou indiretamente, fazem referência a si mesmas) é frequente que surjam paradoxos. O exemplo mais famoso é o Paradoxo de Russell, que leva em conta o conjunto M de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos. A pergunta é: será que M contém M? Esse paradoxo é análogo ao ainda mais famoso Paradoxo do Barbeiro, o qual, por brevidade, deixo de transcrever aqui. Para quem ainda não o conhece, clique aqui e se divirta (ou enlouqueça) com suas contradições lógicas.

O paradoxo que vou apresentar hoje, conhecido como Paradoxo de Berry, é um paradoxo que eu considero ainda mais interessante.

Um desafio simples (e uma generalização mirabolante!)

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Ontem me enviaram um desses desafios de lógica de WhatsApp. O desafio é simples: utilizando sinais matemáticos usuais, fazer com que se verifiquem as seguintes igualdades (a primeira já está resolvida, como exemplo):

Matemática como fim em si mesma

"A matemática é uma língua em que se discutem aquelas partes do mundo real que podem ser descritas por números ou por relações semelhantes de ordem. Juntamente, porém, com o dever rotineiro de traduzir os fatos para esta língua, existe, para aqueles que têm aptidões neste campo, um prazer na própria atividade em si. Acham a linguagem mais rica do que seu conteúdo estéril; aquilo que é traduzido significa menos para eles do que a lógica e o estilo do dizer, e destes sons harmoniosos desenvolve-se a matemática como literatura por direito próprio. A Matemática, neste sentido, – a Matemática pura – é uma forma de poesia que possui com a prosa da Matemática prática a mesma relação que a poesia literária tem com a prosa em qualquer outra linguagem. Este elemento de poesia, o encanto em explorar o meio por amor ao meio, constitui um comportamento essencial do processo criador." – J. Bronowski.

O IMORTAL, texto de Alejandro Jodorowsky

Viajou por todo o mundo, leu, estudou, rezou, alterou suas configurações mentais, experimentou fórmulas alquímicas, até que enfim obteve o que tanto queria: a imortalidade física. "O tempo me concederá sua sabedoria, as gerações futuras vão me admirar, serei dono do planeta!". Foram passando os séculos. A humanidade continuou sua evolução: os corpos se estiraram, as mandíbulas se estreitaram, os crânios aumentaram de tamanho, os ossos perderam peso e as omoplatas se converteram em asas. O imortal vagava preso ao solo, causando asco à humanidade volante.

Os últimos anos de Felix Hausdorff

A não ser que você viva como um eremita ou resida em alguma pequena comunidade agrícola auto-sustentável (casos em que você não estaria lendo este texto), toda tecnologia que o cerca, do celular à internet, provém direta ou indiretamente de pesquisas e trabalhos intelectuais que levaram décadas para se concretizar. E quase todas essas pesquisas têm suas raízes na matemática ou ao menos utilizam a matemática como ferramenta indispensável.

Na matemática, similarmente a qualquer outra área de pesquisa ou ramo de serviço, existem pessoas fantásticas que trabalham arduamente dia após dia para desenvolver teoremas e apresentar resultados abstratos que um dia virão a encontrar aplicabilidades práticas diversas, mas ainda insuspeitas. Também existem alguns poucos indivíduos, desses que aparecem apenas uma vez ou outra a cada geração, que são "monstruosas", de inteligência descomunal, e conseguem não só desenvolver resultados impressionantes com base em ideias já existentes, mas também fornecer toda uma nova estrutura sobre a qual os demais estudiosos vão construir suas futuras pesquisas, por séculos e mais séculos e além. São praticamente anjos anônimos da humanidade que, no silêncio de seus gabinetes, só com lápis e papel, trazem o verdadeiro progresso para os povos.

PEQUENO TEOREMA: critério de divisibilidade por $n$ na base $n+1$

Brincando agora mesmo, durante a madrugada (para pegar no sono), com bases numéricas, dei-me conta de uma curiosa propriedade: um número escrito em sua representação na base $n+1$ é divisível por $n$ se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por $n$. Ainda mais, se $n$ não for primo, o mesmo vai valer para seus divisores. Obviamente, por indução, o processo de soma dos algarismos pode ser repetido reiteradamente até que o critério de divisibilidade forneça um valor para o qual seja evidente se ele é ou não múltiplo do número pelo qual se deseja dividir. Quando não houver divisibilidade, o procedimento fornece o resto da divisão euclidiana (congruência modular).

A propriedade é de baixa utilidade prática e de fácil demonstração, mas investigá-la é divertido e pode ser iluminador quanto ao funcionamento das bases numéricas, de modo que recomendo fortemente que o leitor descubra sozinho o porquê de ela ser válida (dica: experimente um pouco com bases inusitadas, como 3 e 9, por exemplo, e depois generalize a demonstração para base $n+1$).

Não me dei ao trabalho de conferir (afinal agora, enquanto eu escrevo esta linha, são exatamente 2:20 da manhã), mas certamente não se trata de um resultado novo, já que é trivial a ponto de ser possível que uma pessoa se convença de sua validade sem nem usar caneta e papel. O caso particular na base usual é bem conhecido.

Bônus: se você leu esse texto até aqui, é sinal de que sabe o que é uma base numérica e se interessa pelo assunto. Portanto, com certeza vai apreciar a piada da tirinha abaixo, que é uma das minhas favoritas:

NOTAÇÕES EM MATEMÁTICA: uma brevíssima reflexão apaixonada e uma curiosidade histórica sobre as contribuições de Leibniz e Euler

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Embora uma verdade matemática não dependa da linguagem que utilizamos para descrevê-la, é sempre desejável ter notações de fácil manuseio e que condensem o máximo possível um conjunto de informações sem perder a precisão. Mais ainda, é preferível que essas notações tenham alguma relação estética com aquilo que descrevem, ou que forneçam alguma vantagem prática na trato operacional (pense, por exemplo – e lembre que nem sempre foi assim –, nas facilidades visuais das atuais notações quando trabalhamos com propriedades de potências, logaritmos e derivadas: a "regra do tombo", depois de adquirirmos certa experiência, torna-se até divertida e quase viciante).

IMAGINAÇÃO, CRIAÇÃO E EDUCAÇÃO NA REESTRUTURAÇÃO SOCIAL

"A personalidade criadora deve pensar e julgar por si mesma, porque o progresso moral da sociedade depende exclusivamente da sua independência" – Albert Einstein.

Por mais que fosse desejável que, na quarentena, cada pessoa aproveitasse o tempo ocioso para desenvolver habilidades que no dia a dia, por suposta falta de tempo, sempre postergamos para um futuro indefinido que nunca chega, sabemos que isso é difícil de acontecer. Poucos são os indivíduos que, sem uma motivação externa ou ao menos alguma pressão comunitária, disciplinam-se sozinhos na construção de saberes.

Por que o ódio ao pensamento é ruim a curto prazo e desastroso para o futuro?

A relativização absoluta da verdade – a concepção de que "se aquilo expressa ou reforça o meu ponto de vista, então deve ser verdade, por mais absurdo que pareça" ou de que "pouco importa se é verdade ou não, desde que defenda minha opinião mesquinha" – é o maior desafio a ser superado pela nossa geração. Nenhum outro problema filosófico é tão iminentemente grave quanto este. E poucos problemas práticos, mesmo socioeconômicos, são tão urgentemente alarmantes.

O maior problema da proliferação de notícias falsas e de discursos esvaziados de lógica não é levar algumas pessoas a acreditar em inverdades. Isso tem alcance limitado e não causa prejuízos para a sociedade como um todo. O maior problema é fazer com que todas as pessoas, incluindo aquelas bem instruídas e de boa vontade, percam parâmetros de verdade, deixem de ter referências seguras de informação. Além do mais, banaliza a mentira, minando não só argumentos que defendem certos pontos de vista, mas destruindo a própria possibilidade do debate. E, sem debate, não há correção, não há evolução, não há interação, não há nada: é só queda.

O PRAZER NA PRODUÇÃO CIENTÍFICA

"Aquilo que um cientista faz é composto de dois interesses: o de sua época e o seu próprio. Nessa questão, seu comportamento não é diferente do de qualquer outro homem. As necessidades da época impõem sua forma ao progresso científico como um todo. Todavia, não são essas necessidades que dão ao cientista individual seu sentido de prazer e de aventura e aquela emoção que o leva a trabalhar até altas horas da noite quando todos os outros abandonam o trabalho muito mais cedo. O cientista se encontra pessoalmente envolvido em seu labor, tal como o poeta nas palavras e o artista na pintura. A pintura, em seu surgimento, deve ter sido feita para fins úteis; a linguagem, desde o seu início, foi desenvolvida para a comunicação prática. Todavia, não é possível que um homem maneje a pintura, ou a linguagem, ou os símbolos e conceitos da Física, nem mesmo é possível que ele manche a lâmina do microscópio, sem despertar nele um prazer imediato na própria linguagem, um sentido de explorar a própria atividade. Essa sensação reside na criação em si, é um fim em si mesma" – J. Bronowski, trecho de O Homem e A Ciência.

Um argumento geométrico para demonstrar a irracionalidade de $\sqrt{2}$

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John Conway foi um matemático britânico que, recentemente, faleceu em decorrência do novo coronavírus. Ele nos deixou uma obra vasta e importante na matemática, abordando assuntos complexos, como teoria dos grupos, teoria dos nós, teoria dos números e teoria dos jogos. Hoje, contudo, apresentarei uma criação extremamente simples, mas belíssima, que Conway propôs para fornecer uma visualização geométrica da irracionalidade de $\sqrt{2}$.

ESTATÍSTICA, COMPREENSÃO DA REALIDADE e CONSTRUÇÃO DE UM MUNDO MAIS SUSTENTÁVEL

"Nenhum astronauta se lança ao espaço com os dedos cruzados. Não é assim que lidamos com riscos" – Chris Hadfield.

No passado percebemos que boas intenções, sozinhas, nem sempre dão resultados positivos se não vierem acompanhadas de segurança racional quanto a causas e efeitos. As pessoas, em geral, aprenderam a lição, e hoje a única exigência que fazemos sobre um discurso para aceitá-lo é que ele seja lógico, sensato e consistente. Mas os desafios evoluem. No mundo contemporâneo, perceber causas e consequências já não é mais suficiente. É necessário ter uma visão probabilística da realidade.

Para todas as áreas, incluindo as humanidades (e principalmente nelas), ter ao menos noção dos rudimentos mais básicos de probabilidade e estatística já se tornou um requisito indispensável para que se possa construir, sobre os fatos, interpretações que sejam minimamente condizentes com a realidade.

ENGRENAGEM SOCIAL, SOLIDARIEDADE e MATEMÁTICA

Algo que a pandemia que se deflagrou em nível mundial está deixando evidente para todas as pessoas é que, ao contrário do que a ingenuidade inconsequente de discursos pseudo-políticos (de qualquer lado) estava nos induzindo a crer, o funcionamento saudável e sustentável de uma sociedade depende de um sistema complexo e delicado que demanda tanto capacidade técnica nas mais diversas áreas quanto sentimentos humanos profundos e valorização incondicional do indivíduo e de seu trabalho, independentemente de suas ideologias.

Para que uma comunidade se mantenha viva e em bom funcionamento, todos os seus componentes são importantes e devem ser valorizados. Não existe profissão mais importante ou digna do que outra, desde que exercida com empenho e responsabilidade.

Teoria do Caos ilustrada

No gif, dois pêndulos de braços articulados são soltos em condições iniciais praticamente idênticas, diferindo em apenas 0,1º na inclinação de uma de suas partes.

As diferenças nas trajetórias são gritantes e se dão numa rapidez surpreendente. 

Nota: ambos os sistemas são determinísticos e obedecem às mesmas leis.

CONTO: O QUE É ESPERADO DE NÓS, de Ted Chiang

Ted Chiang, um dos mais talentosos escritores de ficção científica da contemporaneidade, é o autor da coleção "História da sua Vida e outros contos", cuja narrativa que dá título ao livro originou o  roteiro do filme A Chegada (The Arrival, 2016).

A ficção de Ted Chiang, marcada pela simplicidade acessível da escrita envolvendo grande profundidade de conteúdo, venceu, quatro vezes cada um, os três maiores prêmios da ficção científica: Hugo Awards, Nebula Awards e Locus Awards. Figura, ao lado de autores como Isaac Asimov, Arthur C. Clarke, Philip K. Dick, Stanislaw Lem e Ray Bradbury, como um dos maiores escritores de ficção científica de todos os tempos.

Seu segundo volume de contos, ainda não publicado no Brasil, se chama Exhalation, e foi dele que extraí a história curta "What's Expected of Us": uma pequena obra-prima minimalista da ficção especulativa de caráter filosófico.

MATEMÁTICA, VERDADE E BOM-SENSO: reflexões sobre a linguagem da matemática e a matemática na linguagem

De todas as interpretações que já conheci quanto ao que se entende por matemática, a mais interessante delas é a de Jordan Ellenberg, que afirma que "a matemática é a extensão do bom-senso por outros meios", e não um conjunto de formulações complicadas que nos afasta do mundo real, tornando difícil a interação com os fatos e resultando em teorias que contrariam nossa observação de tudo aquilo com que lidamos na prática. Muito pelo contrário, o ponto de vista de Ellenberg indica que a matemática, por mais misteriosa que às vezes possa parecer, não é algo apartado da realidade, mas uma abstração (como tantas outras) que nos leva a enxergar mais longe, e com mais nitidez e ceticismo, os fenômenos físicos e não-físicos do mundo que nos cerca, tornando-os, na medida do possível, compreensíveis, previsíveis e até mesmo simples e intuitivos.

TEOREMA DE NAPOLEÃO (com demonstrações)

“Esperamos qualquer coisa do senhor, General, exceto uma lição de geometria” – Pierre Laplace.

Exato. Isso mesmo. O famoso líder político Napoleão Bonaparte era um entusiasta da geometria. Conta-se que o imperador franco-italiano tinha frequentes aulas de matemática com um instrutor pessoal, simplesmente porque queria. Assim como qualquer pessoa sensata que já tenha tido contato com os portentos de lógica e criatividade da geometria, Napoleão compreendia que o aguçamento da percepção proporcionado pelo estudo da arte euclidiana, bem como a clareza mental por ela desenvolvida, são úteis em vários aspectos da vida – inclusive naqueles que, a princípio, parecem nada ter a ver com pontos, retas, ângulos e polígonos.

Desde seu desenvolvimento mais robusto na Grécia Antiga (e provavelmente ainda antes), a geometria sempre foi fonte de inspiração para arquitetos, pintores, poetas, pensadores, músicos e toda sorte de artistas e intelectuais ou pessoas de mente curiosa em geral. No caso do conquistador, dizia ele encontrar na geometria valioso fomento para questões estratégicas, dela retirando lições que posteriormente viria a aplicar em táticas militares e até em assuntos de política e liderança.

Teoremas são como fábulas...

Muito do que aprendemos de lições abstratas para a vida provem de histórias de ficção repletas de conteúdo imagético e fantasioso. A força e a longevidade das fábulas, dos "causos", dos mitos e lendas, como as de La Fontaine, de Esopo, as aventuras épicas de Homero, as mitologias de todos os tempos e culturas, as parábolas de Jesus Cristo e os contos de milenar sabedoria oriental, se devem ao fato de que essas histórias – que compõem o imaginário da nossa cultura, a base da nossa visão de mundo e do modo pelo qual valorizamos a realidade e as relações interpessoais – são essencialmente constituídas de imagens.

O interessante é que isso não acontece só em questões de humanidades, mas também na matemática (que é, ela mesma, uma cultura própria: e uma das mais ricas em beleza e significados!).

Minha prova favorita do Teorema de Pitágoras

Um dos primeiros teoremas que aprendemos no ensino fundamental é o Teorema de Pitágoras. Sabemos que nem sempre sua demonstração é apresentada aos alunos (embora devesse ser), mas, das centenas de maneiras que existem para prová-lo, várias delas são bastante fáceis. A que mais me agrada, por ser uma das mais simples e diretas, é a que indico agora.

Duas Provas da Irracionalidade do Número $e$

Hoje aprendi a inserir caracteres matemáticos mais sofisticados no blog. Para comemorar, resolvi publicar não uma, mas sim duas das demonstrações que eu considero mais belas e divertidas para comprovar que a constante $e$ (o número de Euler) é, de fato, um número irracional.

(Obs.: para conseguir ver as equações, é necessário acessar esta página por um computador, ou então ativar a função "versão para desktop", nos celulares Android, ou "site para computador", nos aparelhos iOS).

DESAFIO DE LÓGICA: Baralhos, Cubos Mágicos e Mega-Sena

Na semana passada, publiquei no meu Facebook o seguinte desafio: qual das alternativas abaixo é a mais provável de acontecer? E qual é a mais improvável?

A) Em um baralho comum já desorganizado depois de uma partida qualquer, embaralhar as cartas de modo completamente aleatório e no final sair com o baralho perfeitamente organizado, do jeito que ele veio quando foi comprado;

B) Em um cubo mágico desorganizado a esmo, mexer nele de modo completamente aleatório (de olhos fechados) e, no final, sair com o cubo resolvido, com todas as cores na posição correta;

C) Ganhar na Mega-Sena participando apenas uma vez e com um único jogo de seis números.